GIIT_CAL_1415_Practica1

1150 days ago by evalsanjuan

Límites de Sucesiones y Funciones

 

Definir una sucesión con SAGE es igual que definir una función. Por ejemplo, para definir una sucesión de números reales $a_n=1/n$ y una sucesión $b_n=(n+2)/(n+1)$ procederemos así:

a(x)=1/x b(x)=(x+2)/(x+1) 
       

Calculamos los términos  $a_2$ y $b_3$:

a(2); b(3) 
       
1/2
5/4
1/2
5/4

Podemos generar un determinado número de términos de una sucesión, que obtendremos como una lista. Por ejemplo una lista con los 20 primeros términos de la sucesión $a_n$

for n in [1..20]: a(n) 
       
1
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
1/7
1/8
1/9
1/10
1/11
1/12
1/13
1/14
1/15
1/16
1/17
1/18
1/19
1/20
1
1/2
1/3
1/4
1/5
1/6
1/7
1/8
1/9
1/10
1/11
1/12
1/13
1/14
1/15
1/16
1/17
1/18
1/19
1/20

O bien con el comando map, que vimos en el tutorial, aunque en ese caso no podemos encontrar la expresión numérica (solo salen fracciones)

map(a,[1..20]) 
       
[1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, 1/12, 1/13,
1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18, 1/19, 1/20]
[1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, 1/17, 1/18, 1/19, 1/20]

Generamos una lista de los primeros 50 términos de $b_n$ y los representamos gráficamente:

m=[b(n) for n in [0..50]] list_plot(m) 
       
 
       
#Practica #a c(n)=(n-1)/n 
       

 

Practica: dada la sucesión $c_{n}=\frac{n-1}{n}\,:$
a) Calcula sus 50 primeros términos y a partir del resultado obtenido, estima el valor del límite de esta sucesión.
b) Haz una representación gráfica de los puntos de coordenadas ($n$, $c_{n}$), y comprueba que la sucesión tiende al límite estimado.

Podemos trabajar con sucesiones definidas por recurrencia. Por ejemplo los 30 primeros términos de la sucesión $c_0=\sqrt{2}$, $c_n=\sqrt{2+c_{n-1}}$ se pueden generar como una lista de valores en la que el primer término es $c_0=\sqrt{2}$ y después vamos añadiendo (con el comando append) los siguientes términos:

c=[sqrt(2).n()] for n in [1..30]: c.append(sqrt(2+c[n-1])) 
       
       

Pintemos la sucesión

list_plot(c) 
       

Como vemos, el límite en este caso es 2.

Sage tiene un comando para calcular directamente el límite de una sucesión definida mediante su término general. Por ejemplo, para $a_n=1/n$ y $b_n=(n+2)/(n+1)$

limit(a(x),x=oo) 
       
limit(b(x),x=oo) 
       

Practica: Utilizando el comando apropiado, calcula el límite de $\{c_n\}$.

A veces la sucesión no posee límite (es oscilante). Por ejemplo,  $\{cos(n)\}$:

limit(cos(x),x=oo) 
       

Podemos calcular límites de expresiones más complicadas:  $\{\frac{\sqrt{n^2+2*n}}{\sqrt{n^2-1}}\}$:

 p
n2 + 2n
p
n2 U00100000 1
!n
:
limit(sqrt(x^2+2*x)/sqrt(x^2-1),x=oo) 
       

 

Dada la sucesión
$
a_{n}=\frac{n-1}{n}\,:
$
\begin{enumerate}
  \item Calcula sus 50 primeros términos y a partir del resultado obtenido, estima el valor del límite de esta
  sucesión.
  \item Haz una representación gráfica de los puntos de coordenadas ($n$, $a_{n}$), y comprueba que la sucesión tiende al límite
  estimado.
   \item Utilizando el comando apropiado, calcula el límte de
   $a_{n}$.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}
\begin{ejercicio}
Repite el ejercicio anterior para la sucesión
$
b_{n}=\left( \frac{\sqrt{n^{2}+2\,n}}{\sqrt{n^{2}-1}} \right )
^{n}\,.
$
\end{ejercicio}

Ejercicios:

1. Dada la sucesión $d_{n}=(1+1/n)^n:$
a) Calcula sus 100 primeros términos y a partir del resultado obtenido, estima el valor del límite de esta sucesión.
b) Haz una representación gráfica de los puntos de coordenadas ($n$, $d_{n}$), y comprueba que la sucesión tiende al límite estimado.
c) Utilizando el comando apropiado, calcula el límite de $d_{n}$.
 
       
2. Repite el ejercicio anterior para la sucesión 
d(n)=(sqrt(n^3+2*n)/(sqrt(n^4-1)))^n 
       
 
       

3. Idem para $d_n=cos(2n\pi)^{(n^2+3n)}$

 
       

4. Calcula los 100 primeros términos de la sucesión de Fibonacci: $d_0=0$, $d_1=1$, $d_n=d_{n-1}+d_{n-2}$.

 
       

Como ya vimos en el tutorial, es muy sencillo definir funciones con Sage. Vamos a ver cómo pintar, calcular límites de funciones de variable real, y estudiar la continuidad.

Por ejemplo, para definir $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$:

f(x)=(x^2-1)/x 
       

Una de las formas de intentar calcular el límite de una función en un punto $x_0$ es calcular los valores que toma la función en puntos cercanos a $x_0$. Por ejemplo, si queremos calcular el límite de $f(x)$ en 0, para aproximarnos, podemos calcular:

f(-1), f(-0.1), f(-0.01), f(0.01), f(0.1), f(1) 
       
(0, 9.90000000000000, 99.9900000000000, -99.9900000000000,
-9.90000000000000, 0)
(0, 9.90000000000000, 99.9900000000000, -99.9900000000000, -9.90000000000000, 0)

También podemos dibujarla, obviamente:

plot(f(x),(x,-2,2)) 
       

La gráfica no se ve demasiado clara. Para "arreglarlo", podemos usar los comandos ymax, ymin que fijan los límites superior e inferior para el eje Y.

plot(f(x),(x,-2,2),ymin=-10,ymax=10) 
       

Veamos cómo funciona el comando limit. Volvemos a estudiar la función $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$:

help(limit) 
       
f.limit(x=2) 
       
x |--> 3/2
x |--> 3/2
f.limit(x=0) 
       
x |--> Infinity
x |--> Infinity
f.limit(x=0,dir='right') 
       
x |--> -Infinity
x |--> -Infinity
f.limit(x=0,dir='left') 
       
x |--> +Infinity
x |--> +Infinity
f.limit(x=oo) 
       
x |--> +Infinity
x |--> +Infinity
f.limit(x=-oo) 
       
x |--> -Infinity
x |--> -Infinity

En resumen, la función $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$ es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$.

En 0, posee una discontinuidad inevitable, de salto infinito.

Tiende a ∞ cuando  $x \to$ ∞ y a tiende a -∞ cuando  $x \to $ -∞

 
       

Probemos con otra función, $g(x)=\sin(1/x)$, y el límite en 0

g(x)=sin(1/x) 
       
plot(g(x)) 
       

Si queremos intentar afinar un poco más cerca del origen, pintémosla entre -0.1 y 0.1, por ejemplo.

plot(g(x),(x,-0.1,0.1)) 
       

Entonces, ¿cuál es el límite? Gráficamente, parece que no existe.

g.limit(x=0,dir='left') 
       
x |--> ind
x |--> ind
g.limit(x=0,dir='right') 
       
x |--> ind
x |--> ind

Efectivamente, la función $g(x)=\sin(1/x)$ no posee límite en 0. En tal punto, tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito.

Ejercicios:

1. Estudiar la continuidad de la función $f(x)=x^2\sin(1/x)$, $x\neq 0$; $f(x)=1$, $x=0$

2. Estudiar la continuidad de $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

3. Calcular el límite en infinito de $\sqrt{x^2+x-1}-\sqrt{x^2-2x-1}$

4. Calcular el límite en $\pi/2$ de $({\sin^2x})^{\tan^2x}$

5. Calcular el límite en 0 de $({\cos x})^{(1/\sin x )}$

6. Calcular los límites laterales en 0 de $\frac{6}{4+e^{-1/x}}$

7. Determinar los valores de m y n para los cuales la función definida a trozos es continua:

$$f(x)=\left\{\begin{array}{lr} \sin(x), & x\leq -\pi/2 \\ m\sin(x)+n, & -\pi/2<x<\pi/2 \\ 2\cos(x), & x\geq \pi/2 \end{array}\right.$$