GIIT_CAL_1415_Practica2

1069 days ago by etlopez

Derivación e Integración para funciones de una variable

Hemos visto en el tutorial cómo Sage nos permite calcular la función derivada y la primitiva, además de integrales definidas. Recordemos: 

f(x)=1/x; f.diff(x) 
       
x |--> -1/x^2
x |--> -1/x^2

Lo podemos "arreglar" un poco...

show(f.diff(x)) 
       

También podemos calcular derivadas de orden superior

show(f.diff(x,2)); show(f.diff(x,3)) 
       

Una de las aplicaciones del cálculo de la derivada es la de encontrar los valores extremos de una función dada. Por ejemplo, tomemos la función  

g(x)=(1-x^2)/(1+x^2); show(g) 
       

Ejercicio: Busca en la ayuda cómo funciona el comando solve y calcula el dominio de g. Calcula también los puntos de corte.

plot(g,(x,-3,3)) 
       

Ejercicio: Observamos que posee un máximo relativo. ¿Cómo lo calculamos? ¿Y los puntos de inflexión?

 
       

En cuanto a las integrales indefinidas, para funciones de una variable, también Sage las hace solito...

f(x)=tan(x)^2; show(f.integrate(x)) 
       
f(x)=e^(arcsin(x))/sqrt(1-x^2); show(f.integrate(x)) 
       
f(x)=e^x*cos(x); show(f.integrate(x)) 
       

Y las definidas:

f(x)=sqrt(1-x^2); f.integrate(x,-1,1) 
       
1/2*pi
1/2*pi

Ejercicio: Dadas las funciones: $f(x)= x^2+1$ y $g(x)=1+x$. Determinar el área de la región limitada por sus
gráficas y los semiejes coordenados positivos.

 
       

Ejercicio: Calcular los volúmenes engendrados al girar alrededor del eje OX y del eje OY por la recta $y=11-3x$ entre las rectas $x=2$ y $x=3$.

 
       
f(x)=11-3*x; plot(f,(x,0,3))+line([(2,0),(2,f(2))],color='red')+line([(3,0),(3,f(3))],color='red') 
       

Otra herramienta que nos puede ayudar mucho, en general, es Wolfram Alpha: 

http://www.wolframalpha.com/