AJO_1415_Practica1

961 days ago by sevillad1415

Práctica 1 de Ajuste de Observaciones

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle o calendario de la asignatura. Hasta una semana de retraso: vale hasta el 50%. Más de una semana de retraso: no cuenta para la nota.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo AJO_1415_Practica2_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "File...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1415 mediante el botón Share de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica: los ejercicios marcados "opcional" son solo para subir nota.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un único fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar el botón Print de arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) de la hoja a imprimir, y convertirlas a PDF uniendo después los distintos ficheros generados.
  5. Ve al campus virtual, al registro de horas no presenciales, y pon allí las dedicadas a esta práctica (recuerda descontar las presenciales de laboratorio), indicando en "observaciones" la actividad.

 

 
       

Ejercicio 1. Queremos estimar una distancia a partir de dos mediciones: 101 y 105 (en metros). Para ello definimos la función $f$ como la suma de los residuos en valor absoluto. Por ejemplo, si estimamos $x=102$, el error es

\[ f(102)=|101-102|+|105-102|=4. \]

Dibuja la gráfica de la función en un intervalo que contenga los datos observados (en Sage el valor absoluto es la función "abs"). Encuentra en la gráfica todos los puntos donde el error cometido es el mínimo (para nuestra definición de error). Asegúrate de tu respuesta evaluando o simplificando la función.

Según esta función, ¿cuál es la mejor estimación?

 
       

Para el siguiente ejercicio necesitaremos resolver ecuaciones con Sage. Existe la función "solve", donde los argumentos son la ecuación y la variable:

s = solve(x^2-1,x) s 
       
[x == -1, x == 1]
[x == -1, x == 1]

La respuesta es una lista, de donde se pueden extraer los elementos usando corchetes (el primer elemento de la lista es s[0], el segundo es s[1], etc.)

s[0]; s[1] 
       
x == -1
x == 1
x == -1
x == 1

Si lo que queremos es usar las soluciones para calcular con ellas, debemos extraerlas de la expresión que nos devuelve solve. Podemos hacerlo por ejemplo con rhs() que significa "right-hand side", la mitad derecha de una igualdad.

s = solve(x^2-1,x) s 
       
[x == -1, x == 1]
[x == -1, x == 1]
a = s[1] a 
       
x == 1
x == 1
a = a.rhs() a 
       
1
1

Siempre que obtengas una respuesta puedes teclearla más tarde cuando la necesites, o copiar y pegar; pero lo mejor es asignarle una variable y usarla después. Así evitamos errores, y además podemos cambiar los datos iniciales para resolver otro problema sin tener que cambiar el código escrito.

 

Ejercicio 2. Con los datos del problema anterior, ahora definimos ahora $f$ como la suma de los cuadrados de los residuos de las mediciones. Por ejemplo, \[ f(102)=(101-102)^2+(105-102)^2=10. \]

Dibuja la gráfica de la función para valores en el intervalo $[95,110]$. Calcula analíticamente y con detalle el mínimo en ese intervalo y confirma que coincide con lo mostrado en la gráfica.

 
       

Además de gráficas de funciones, también podemos dibujar puntos individuales en el plano.

point([(10,2),(12,0),(15,1)], figsize=5) 
       

De hecho también podemos aplicar estilos de dibujo a los puntos (tamaño y color sobre todo), sumarles otras gráficas, etc.

p1 = plot(x^3-x,(x,-2,2)) p2 = point([(-1,1),(0,0)],size=100) p3 = point((1,2),color='red') p = p1+p2+p3 p.show(figsize=4) 
       

Ejercicio 3. Usa el método de mínimos cuadrados (el método del ejercicio anterior) para ajustar una magnitud si hemos medido los valores 45, 37, 40, 40, 41. Luego dibuja todo junto lo siguiente: la gráfica de la función suma de cuadrados, y los siguientes puntos en el eje horizontal: las mediciones (azules) y la estimación (rojo). Finalmente, comprueba numéricamente que el valor estimado es precisamente la media de los valores medidos.

 
       

Ejercicio 4 (opcional). Demuestra matemáticamente que para toda repetición de medidas $x_1, x_2, \ldots, x_n$ de una magnitud, su ajuste por mínimos cuadrados coincide con su media. Si lo haces en papel y escaneando, recuerda que la práctica se entrega en un solo fichero PDF.