AJO_1415_Practica3

1008 days ago by sevillad1415

Práctica 3 de Ajuste de Observaciones

 

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle o calendario de la asignatura. Hasta una semana de retraso: vale hasta el 50%. Más de una semana de retraso: no cuenta para la nota.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo EST_1415_Practica2_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "File...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1415 mediante el botón Share de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica: los ejercicios marcados "opcional" son solo para subir nota.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un único fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar el botón Print de arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) de la hoja a imprimir, y convertirlas a PDF uniendo después los distintos ficheros generados.
  5. Ve al campus virtual, al registro de horas no presenciales, y pon allí las dedicadas a esta práctica (recuerda descontar las presenciales de laboratorio), indicando en "observaciones" la actividad.

 

 

A continuación vemos cómo calcular con la distribución normal estándar $X\sim N(0,1)$:

  • "r.pnorm(a)" calcula la probabilidad de que $X$ sea menor que a, es decir, el área desde $-\infty$ hasta a.
  • "r.qnorm(b)" calcula el cuantil de probabilidad b, es decir el valor de la variable que deja una región de probabilidad b a su izquierda.

En el siguiente ejemplo usamos el comando "print" para mostrar el resultado dentro de una frase, juntando texto y números (separando con comas).

a = 0.2 p = r.pnorm(a) print "La probabilidad de X <=", a, "es:", p 
       
La probabilidad de X <= 0.200000000000000 es: [1] 0.5792597
La probabilidad de X <= 0.200000000000000 es: [1] 0.5792597

El [1] antes del resultado se debe a que estamos pidiendo a R, un conocido paquete estadístico que está dentro de Sage, que nos calcule el valor buscado (por eso la función comienza con "r."). Para quitar ese [1] le decimos a Sage que nos devuelva el resultado en "formato Sage"; esto se hace así:

r.pnorm(a)._sage_() 
       
0.579259709439103
0.579259709439103

Si ejecutas el código siguiente tendrás un recuadro interactivo que te ayudará a entender la función.

%auto @interact def _( a = slider(-4,4,0.25,default=0,label='a') ): myplot = plot(RealDistribution('gaussian', 1), xmin=-4, xmax=a, aspect_ratio=5,thickness=0, figsize=6, fill='axis') myplot += plot(RealDistribution('gaussian', 1), xmin=-4, xmax=4) myplot += text('$a$', (a,-0.1), fontsize=20) myplot += text('$Area=pnorm(%f)$' % a, (2,0.4), fontsize=20, horizontal_alignment='left') myplot += text('$=%f$' % r.pnorm(a)._sage_(), (2.9,0.25), fontsize=20, horizontal_alignment='left') myplot.show() 
       

Click to the left again to hide and once more to show the dynamic interactive window

Para calcular cuantiles de la distribución normal estándar usamos "r.qnorm". A continuación calculamos los tres cuartiles de la distribución N(0,1) usando listas como en la práctica anterior. Fíjate en que de nuevo quitamos el [1] como vimos antes.

cuartos = [0.25, 0.5, 0.75] [r.qnorm(n)._sage_() for n in cuartos] 
       
[-0.674489750196082, 0, 0.674489750196082]
[-0.674489750196082, 0, 0.674489750196082]

Ejercicio 1. Demuestra numéricamente la regla 68 - 95 - 99,7 en el caso de la distribución normal estándar.

 
       

Ejercicio 2. Sea una variable $X$ que sigue una distribución normal estándar.

  • Calcula la probabilidad de que $X$ sea mayor que 2.
  • Calcula la probabilidad de que $X$ esté entre -2 y 1.
  • Calcula el intervalo de confianza del 80% para $X$.
  • Calcula otro intervalo que contenga el valor de $X$ con probabilidad del 80%.
 
       

Para trabajar con distribuciones normales de parámetros arbitrarios, $N(\mu,\sigma)$, usaremos las mismas funciones pero indicaremos la media y la desviación típica como argumentos. Ejemplo: si las alturas en cm de una población adulta siguen una distribución $N(170,10)$ calculemos la probabilidad de que alguien mida menos de 160 cm:

r.pnorm(160,mean=170,sd=10) 
       
[1] 0.1586553
[1] 0.1586553

Y ahora calculemos el intervalo de confianza al 95%:

a = r.qnorm(0.025,mean=170,sd=10)._sage_() b = r.qnorm(0.975,mean=170,sd=10)._sage_() a,b 
       
(150.400360154599, 189.599639845401)
(150.400360154599, 189.599639845401)

Ejercicio 3. Una empresa vende paquetes de 1 Kg de azúcar. Dado que el paquete dice "1 Kg" en la etiqueta, un paquete que tenga menos de 1 Kg de azúcar no es aceptable para el cliente (si hay más de 1 Kg no se quejará, obviamente). Sabemos que el proceso de empaquetado produce paquetes cuyos pesos (en gramos) siguen una distribución $N(1007, 4)$.

  • ¿Qué porcentaje de paquetes no son aceptables?
  • Queremos que un 99% de paquetes cumplan lo anunciado, aumentando la media. ¿Cuál debería ser esa nueva media?
  • Si podemos mejorar la precisión del proceso (reducir la desviación típica) sin cambiar la media, ¿qué valor elegiríamos para tener al menos un 99% de paquetes que cumplen lo anunciado?
 
       

Ejercicio 4. Para medir el perímetro de una finca rectangular medimos dos lados no opuestos de manera independiente y calculamos el resultado deseado. Las medidas de cada tramo (en m) siguen una distribución normal: $N(214.31, 0.82)$ y $N(181.72, 0.43)$ respectivamente.

  • ¿Qué distribución siguen los valores del perímetro?
  • Calcula el intervalo de confianza del 95%.