GIIT_AMA_1415_Ejercicios_Numerico_Ceros_Sistemas

1103 days ago by trinidad1415

Práctica de Ampliación de Matemáticas (Tema 1: Errores y cálculo de ceros)

Alumnos que integran el grupo

  1. ...
  2. ...
  3. ...
  4. ...

Ejercicios

En los ejercicios siguientes, $DNI$ será la suma de los números de DNI de los miembros del grupo, $a$ la última cifra de ese número y $dni=DNI/2.9^{log(DNI)}$.


A. Hemos medido la intensidad de un sonido (respecto al umbral de audición) como $12034$ con un error de $\pm 1$. Pasamos la medida a decibelios (si $x$ es la medida respecto al umbral de audición, $10log_{10}(x)$ es la medida en decibelios). Estimar el error.


B. Elegir el apartado correspondiente a $a$:

   0,1,2,3. Aplicar el método de la bisección a la función $f(x)=e^{-x}-sen(x(1+dni))$ para encontrar una raíz entre $0$ y $1$ con 5 cifras significativas. Sin aplicar el método, ¿cuántos pasos serían necesarios para obtener $10$ ciras significativas?

   4,5,6. Aplica el método de Newton-Raphson a la función $f(x)=e^{-x}-sen(x(1+dni))$ para encontrar una ráiz entre 0 y 1 con 4 cifras significativas. ¿Cuántos pasos habría que realizar para tener 10 cifras significativas?

   7,8,9. Aplica el método del punto fijo para encontrar un cero de la función $f(x)=e^{-x/4}-sen(x/4)-(1+dni) x$ partiendo de $x_0=0$ con un error menor de $10^-2$


C. Obtener una función $f$ tal que ocurra los siguiente (elegir el caso correspondiente a $a$):

  0 o 5. Al aplicar 5 pasos del método de la bisección en el intervalo $[0,1]$ nos quedemos 4 veces con el extremo izquierdo y una con el derecho.

  1 o 6. Al aplicar 3 pasos del método de la bisección en el intervalo $[0,1]$ la solución obtenida sea un cero de $f$ (pero no en el primer ni segundo paso).

  2 o 7. Al aplicar el método de Newton, partiendo de cualquier punto, obtengamos la solución en un único paso.

  3 o 8. Al aplicar el método de Newton, los puntos se vayan obteniendo, alternativamente, a la izquierda y a la derecha de la solución..

  4 o 9. Al aplicar el método del punto fijo partiendo de $1$, obtengamos $0$ en el primer paso y de nuevo $1$ en el segundo paso. ¿Qué ocurriría si hacemos más pasos?


D. Elegir el apartado según $a$:

  9,6,3,0. Resolver mediante el método de Gauss el sistema. Comprobar la solución obtenida.

$$\left.\begin{array}{r} 3x+z=1  \\ 2x+(4+dni) y=2  \\ -x+y-6 z=3 \end{array}\right\}$$

  8,5,2. Resolver mediante LU el sistema:

$$\left.\begin{array}{r} 3x+z=dni  \\ 2x+4y=2  \\ -x+y-6 z=3 \end{array}\right\}$$

  7,4,1. Aplicar tres pasos del método de Gauss-Seidel al sistema:

$$\left.\begin{array}{r} (12+dni)x-y+z=1  \\ 5x+4y-2z=2  \\ -2x+y-6 z=3 \end{array}\right\}$$

  Discutir si podemos asegurar la convergencia.


E. Aplicar tres pasos del método de Newton para, partiendo de $(0,0,0)$, aproximar un cero del sistema:

$$\left.\begin{array}{r} (12+dni)x-y^3-exp(z)=1  \\ -sin(x)+(10+a) y-2z=2\\ -2x-\cos(y)+16\sin(z)=3  \end{array}\right\}$$

Si quieres representar las ecuaciones y los puntos, deber usar las versiones 3d de parametric_plot y points.


F. Se considera la gráfica paramétrica $$(1+dni+sin((1+dni)\ 2\pi  t), 1+a+cos(2\pi a t)), \ t\in(0,a).$$ Calcular el valor de $t$ correspondiente a un punto en el que dicha gráfica corte a la recta $y=x$ (con 10 cifras de precisión). ¿Cuál es dicho punto? ¿Con cuántas cifras de precisión sabemos la posiciƄ del punto?

  a) Dibujar la curva pedida usando el comando parametric_plot

  b) Definir una función que para cada $t$, proporcione la la diferencia entre las dos coordenadas (x e y).

  c) Dibujar dicha función y decidir en qué intervalo estará el mínimo ("a ojo").

  d) Aplicar un método para calcular un cero de esta función

  e) Calcular el punto correspondiente

 
       

Normas de entrega

  1. Renombrar la hoja como GIIT_AMA_1415_P1_Apellidos1_Apellidos2_Apellidos3, correspondiendo Apellidos1, Apellidos 2 y Apellidos 3 a los alumnos integrantes del grupo, en orden alfabético.
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  5. Subirla al campus virtual antes de la fecha límite. Cada día a partir de la fecha límite, la nota sobre la que se puntúa el ejercicio bajará en un punto.

Criterios de evaluación

  • 50% de la calificación que los resultados y métodos aplicados sean correctos.
  • 20% de la calificación que los resultados estén correctamente explicados.
  • 20% de la calificación que los métodos empleados sean los más adecuados al problema.
  • 10% de la calificación que los miembros del grupo hayan trabajado homogéneamente y que hayan aprovechado las horas de prácticas.