CAv_1617_Practica2

hace 353 días por sevillad1617

Práctica 2 de Cálculo Avanzado

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle. Hasta una semana de retraso: vale el 50% como máximo.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo CAv_1314_Practica7_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "Archivos...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1617 mediante el botón Compartir de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar Imprimir arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) y convertirlas a un único fichero PDF.

 

Repasemos algunas cosas que podemos hacer con Sage. Recuerda que puedes ver la ayuda de un comando poniendo ? al final de su nombre; también tienes el tutorial si es necesario.

Para empezar ya sabemos definir funciones y hacer operaciones con ellas: evaluar, derivar e integrar, etc.

var('y') f(x,y) = x^3+x^2+3*y^2 f; f(2,3); diff(f,y) 
       
(x, y) |--> x^3 + x^2 + 3*y^2
39
(x, y) |--> 6*y
(x, y) |--> x^3 + x^2 + 3*y^2
39
(x, y) |--> 6*y

Como se comentaba en el tutorial, no es necesario poner la variable al definir una función. Esto hace más difícil la evaluación pero más simple el resultado. A continuación el mismo cálculo con esa otra sintaxis.

f = x^3+x^2+3*y^2 f; f(x=2,y=3); diff(f,y) 
       
x^3 + x^2 + 3*y^2
39
6*y
x^3 + x^2 + 3*y^2
39
6*y

Ejercicio 1. ¿En qué puntos de su dominio son diferenciables las siguientes funciones? Intenta calcular todo con Sage, pero si necesitas calcular $u,v$ a mano incluye una foto de los cálculos.

  • $f(z)=z^3-iz+i$
  • $g(z)=|iz|^2$
  • $h(z)=\frac{z+1}{z-1}$
  • $j(z)=sen(z-\pi)$

Pista: busca las funciones real e imag.

 
       
 
       
 
       
 
       

Además de gráficas de funciones, podemos dibujar curvas paramétricas. Se hace dando en un vector las partes real e imaginaria, y después una terna con la variable y su intervalo.

 

var('t') parametric_plot( (cos(t),sin(t)), (t, 0, pi) ).show(figsize=4) 
       

En el tutorial aprendimos a unir varias gráficas en un solo dibujo.

var('t') p1 = parametric_plot((cos(t), sin(t)), (t, 0, 2*pi)) p2 = point([(1,1),(2,-1)],size=50) (p1+p2).show(aspect_ratio=1, figsize=4) 
       

Ejercicio 2. Encuentra una curva cerrada suave a trozos cuya imagen sea el borde de un trozo del círculo de radio 2 y centro $1+3i$; no vale el círculo entero. Dibuja la curva con Sage (un solo dibujo).

 
       
 
       

Ejercicio 3. Calcula $\displaystyle\int_\gamma f(z) \,dz$ en los siguientes casos usando la definición (es decir, haciendo dos integrales reales, para las partes real e imaginaria). Puedes empezar a mano si quieres, pero calcula las integrales reales con Sage.

  • $f(z)=i$ donde $\gamma(t)=it^2-t$ con $t\in[-1,2]$.

  • $f(z)=(i+z)^2$ donde $\gamma$ es el segmento de recta de $1-i$ a $2-i$.

  • $f(z)=cos(2z-1)$ donde $\gamma$ es el segmento de recta de $i$ a $-4i$.

  • $f(z)=1/z$ donde $\gamma$ es media circunferencia con centro en 0, de $-2i$ a $2i$, en el sentido de las agujas del reloj (un dibujo te ayudará a entender la curva).

 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 4. Calcula las integrales del ejercicio anterior usando el teorema fundamental del cálculo siempre que sea posible, e indícalo cuando no se pueda.

 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 5. Construye tres curvas que vayan del punto $i$ al punto $2-i$ (es decir, escribe la función y su dominio). Dos de ellas deben hacer el mismo recorrido y la tercera no; además la tercera debe ser una curva a trozos. Dibuja las curvas por separado.

 
       

Ejercicio 6 (opcional). Calcula la integral de $\overline{z}$ a lo largo de las tres curvas del ejercicio anterior.

 
       

Ejercicio 7 (opcional). Encuentra dos funciones reales no polinomiales $x(t),y(t)$ cuyas derivadas se anulen en el punto $t=0$. Representa la curva $\gamma(t)=x(t)+i\cdot y(t)$ con $t\in[-2,2]$ y marca en azul el punto donde se anulan las dos derivadas.