GIIT_CALCULO_16_Practica2(Taylor)

hace 346 días por etlopez16

POLINOMIO DE TAYLOR. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.


Podemos calcular el polinomio de Taylor usando la fórmula, a partir de las derivadas de la función en un punto.

$$P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\dfrac{f''(a)}{n!}(x-a)^n$$

Por ejemplo, calculemos el polinomio de Taylor de $f(x)=\sin(x)$ de grado 4 en $a=0$

f(x)=sin(x) 
       
f.diff(x) 
       
x |--> cos(x)
x |--> cos(x)
f.diff(x,2) 
       
x |--> -sin(x)
x |--> -sin(x)
f.diff(x,3) 
       
x |--> -cos(x)
x |--> -cos(x)
f.diff(x,4) 
       
x |--> sin(x)
x |--> sin(x)

Para calcular el factorial, usamos la función 

factorial(4) 
       
24
24
P(x)=f(0)+f.diff(x)(0)*x+f.diff(x,2)(0)/factorial(2)*x^2+f.diff(x,3)(0)/factorial(3)*x^3+f.diff(x,4)(0)/factorial(4)*x^4; show(P(x)) 
       

                                
                            

                                

Aunque, claro, existe un comando para calcular el polinomio de Taylor de una función. Hay que dar como argumentos el punto a y el grado del polinomio n. 

help(taylor) 
       
P4(x)=taylor(f(x),x,0,4); show(P4) 
       

                                
                            

                                
P10(x)=taylor(f(x),x,0,10) show(P10) 
       

                                
                            

                                

Observemos cómo se acercan las funciones en un entorno del 0 (donde hacemos el desarrollo)

plot(f(x),(x,-pi,pi))+plot(P4(x),(x,-pi,pi),color='green') 
       
plot(f(x),(x,-pi,pi))+plot(P10(x),(x,-pi,pi),color='red') 
       

Esto nos puede servir para aproximar el valor del sin(x) en un entorno de 0. Por ejemplo, para estimar sin(0.5)

P4(0.5) 
       
0.479166666666667
0.479166666666667
P10(0.5) 
       
0.479425538616416
0.479425538616416

El error cometido es

sin(0.5)-P4(0.5) 
       
0.000258871937536320
0.000258871937536320
sin(0.5)-P10(0.5) 
       
-1.22128973600866e-11
-1.22128973600866e-11

Ejercicio 1: Calcular el polinomio de Taylor de $f(x)=e^x$ de grado 5 en el 0. Hacer un gráfico para comprobar si la función puede ser aproximada por el polinomio en un entorno de 0.

¿Cómo aproximarías entonces el valor de $e^{0.2}$? Calcula el error cometido. 

 
       

Ejercicio 2: Calcular el polinomio de Taylor de la función $$f(x)=\ln(1+x)$$  de grado 4 en el 0. Hacer un gráfico para comprobar si la función puede ser aproximada por el polinomio en un entorno de 0.

¿Cómo aproximarías entonces el valor del $\ln(1.01)$ ? Calcula el error cometido. 

 
       

Interpretación Geométrica de la Derivada (Animación)

#%hide html('<h2>Tangente a una curva en un punto</h2>') # http://wiki.sagemath.org/interact/calculus#A_simple_tangent_line_grapher @interact def tangent_line(f = input_box(default=sin(x)), xbegin = slider(0,10,1/10,0), xend = slider(0,10,1/10,10), x0 = slider(0, 1, 1/100, 1/2, label="i/d")): prange = [xbegin, xend] x0i = xbegin + x0*(xend-xbegin) var('x') df = diff(f) x0in = x0i.n() tanf = f(x=x0i) + df(x=x0i)*(x-x0i) tanfn = expand(f(x=x0in) + df(x=x0in)*(x-x0in)) fplot = plot(f, prange[0], prange[1]) print 'La recta tangente es y = ' + tanf._repr_() print ' = ' + tanfn._repr_() tanplot = plot(tanf, prange[0], prange[1], rgbcolor = (1,0,0)) fmax = f.find_local_maximum(prange[0], prange[1])[0] fmin = f.find_local_minimum(prange[0], prange[1])[0] show(fplot + tanplot + point((x0i,f(x=x0i)),size=20), xmin = prange[0], xmax = prange[1], ymax = fmax, ymin = fmin, figsize=5) 
       

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