CAv_1617_Practica4

hace 319 días por sevillad1617

Práctica 4 de Cálculo Avanzado

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle. Hasta una semana de retraso: vale el 50% como máximo.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo CAv_1314_Practica7_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "Archivos...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1617 mediante el botón Compartir de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica: los ejercicios opcionales son solo para subir nota.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar Imprimir arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) y convertirlas a un único fichero PDF.

 

Recordemos cómo integrar una función.

f = x^2 f.integrate(x) 
       
1/3*x^3
1/3*x^3
f = x^2 f.integrate(x,1,2) 
       
7/3
7/3

También puede serte útil hacer integración numérica (es decir, aproximada). El comando devuelve el valor y una estimación de su precisión.

f = x^2 numerical_integral(f,1,2) 
       
(2.3333333333333335, 2.590520390792032e-14)
(2.3333333333333335, 2.590520390792032e-14)

Recordemos también cómo se genera una lista usando "for" y cómo se suman los elementos de una lista. Este ejemplo se parece mucho al código que podrías usar para calcular series de Fourier.

a(n) = 1/n l = [a(n)*sin(n*x) for n in [1..5]] l 
       
[sin(x), 1/2*sin(2*x), 1/3*sin(3*x), 1/4*sin(4*x), 1/5*sin(5*x)]
[sin(x), 1/2*sin(2*x), 1/3*sin(3*x), 1/4*sin(4*x), 1/5*sin(5*x)]
gr = [plot(f,(x,-pi,pi),figsize=5) for f in l] sum(gr) 
       

Ejercicio 1. Escribe funciones $a(n)$, $b(n)$ que calculen los coeficientes de la serie de Fourier de $f(x)=e^{-x}$ en $[-\pi,\pi]$. Luego dibuja juntos $f$ y la suma de Fourier de $f$ hasta $n=7$.

 
       
 
       

Ejercicio 2. Dibuja una aproximación de Fourier de $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} sen\ x^3 & \mbox{si } x\leq0 \\ x/3 & \mbox{si } x>0 \end{array} \right.$ en $[-\pi,\pi]$. ¿En qué puntos $f$ no coincide con su serie de Fourier?

 
       
 
       

Ejercicio 3. Dada la función $f(x)=x^2(\pi-x)$ definida en $[0,\pi]$, calcúlale cuatro series de Fourier: en senos, en cosenos y dos más a tu elección. Más concretamente, elige un $n$ para aproximar las cuatro series y luego en cada caso:

  • Muestra los coeficientes de Fourier hasta $n$.
  • Dibuja juntas $f$ (con su dominio) y la aproximación de Fourier (con dominio $[-3\pi,3\pi]$).
 
       
 
       
 
       

En el siguiente ejercicio necesitarás calcular máximos y mínimos locales. Puedes usar la función siguiente, y su análoga para mínimos. Los datos de entrada son una función y un intervalo que contenga un máximo local, el resultado es un par con el valor máximo alcanzado y el punto donde se alcanza. En el ejemplo siguiente buscamos el máximo de una función; a la primera no lo encontramos (nos sale un máximo local pero no global), pero si afinamos el intervalo (apoyándonos en un dibujo), sí podemos encontrarlo.

f = x^3-x a,b = -2,2 p = find_local_maximum(f,a,b) print p plot(f,a,b,figsize=4) + point([p[1],p[0]],size=30) 
       
(0.3849001794597505, -0.57735026914096077)
(0.3849001794597505, -0.57735026914096077)
f = x^3-x a,b = 0,2 p = find_local_maximum(f,a,b) print p plot(f,a,b,figsize=4) + point([p[1],p[0]],size=30) 
       
(5.999999341027005, 1.9999999400933621)
(5.999999341027005, 1.9999999400933621)
 
       

Ejercicio 4. Creemos un ejemplo del fenómeno de Gibbs. Escoge una función $f(x)$ en $[-\pi,\pi]$ que tenga una discontinuidad de salto en el interior del intervalo (no en los extremos). y que no sea constante a trozos. para $n=10,25,100,200$, sea $s_n$ la suma de Fourier correspondiente. Haz lo siguiente para cada uno de los valores de $n$ anteriores:

  • Dibuja juntas $f$ y $s_n$.
  • Calcula el máximo y mínimo locales de $s_n$ más cercanos a la discontinuidad, y su diferencia (ese sería el "salto" de la función continua $s_n$).
  • Compara el "salto" de $s_n$ con del salto de $f$ en su discontinuidad. ¿Cómo cambia el "salto" de $s_n$ cuando $n$ aumenta?