GT_MM_1718_T2_Ejercicios

667 days ago by GT_MM_1718

Práctica de Resolución de Sistemas de Ecuaciones

Alumnos que integran el grupo

  1. ...
  2. ...
  3. ..

Ejercicios

En los ejercicios siguientes, $DNI$ será la suma de los números de DNI de los miembros del grupo, $a$ la última cifra de ese número y $dni=DNI/2.9^{log(DNI)}$.


%auto DNI=99999990 dni=(DNI/2.9^(log(DNI))).n() a=DNI%10 dni,a 
       
(0.303608626336172, 0)
(0.303608626336172, 0)
 
       

A. Elegir el apartado correspondiente a $a$:

   0,1,2,3. Aplicar el método de la bisección para calcular una raíz de $e^{-x}=sen(x(1+dni))$ entre $0$ y $1$ con 5 cifras significativas. Sin aplicar el método, ¿cuántos pasos serían necesarios para obtener $10$ cifras significativas?

   4,5,6. Aplica el método de Newton-Raphson para encontrar una raíz de $e^{-x}=sen(x(1+dni))$ entre 0 y 1 con 4 cifras significativas. ¿Cuántos pasos habría que realizar para tener 10 cifras significativas?

   7,8,9. Aplica el método del punto fijo para encontrar un cero de $f(x)=e^{-x/4}-sen(x/4)-(1+dni) x$ partiendo de $x_0=0$ con un error menor de $10^{-2}$.


 
       

B. Obtener una función $f$ tal que ocurra lo siguiente (elegir el caso correspondiente a $a$):

  0 o 5. Al aplicar 5 pasos del método de la bisección en el intervalo $[0,1]$ nos quedemos 3 veces con el extremo izquierdo y dos con el derecho.

  1 o 6. La función tenga tres ceros en el intervalo $[0,1]$, pero al aplicar 3 pasos del método de la bisección nos quede sólo uno en el intervalo que estemos considerando (pero en el paso 2 sí que sigan estando las tres soluciones).

  2 o 7. Al aplicar el método de Newton, las aproximaciones sucesivas estén alternadamente a la izquierda y a la derecha de la solución.

  3 o 8. Al aplicar el método de Newton partiendo de un punto $p$, en el segundo paso volvamos a obtener $p$ (pero no en el primero). 

  4 o 9. Al aplicar el método del punto fijo partiendo de un punto $p$, obtengamos de nuevo $p$ en el segundo paso (pero no en el primero). ¿Qué ocurriría si hacemos más pasos?


 
       

C. Elegir el apartado según $a$:

  9,6,3,0. Resolver mediante el método de Gauss con pivote el sistema siguiente. Comprobar la solución obtenida.

$$\left.\begin{array}{r} 3x+z=1  \\ 2x+(4+dni) y=2  \\ -x+y-6 z=3 \end{array}\right\}$$

  8,5,2. Aplicar tres pasos del método de Newton para, partiendo de $(0,0,0)$, aproximar un cero del sistema(si quieres representar las ecuaciones y los puntos, deber usar la versión 3d de implicit_plot, implicit_plot3d):

$$\left.\begin{array}{r} (12+dni)x-y^3-exp(z)=1  \\ -sin(x)+(10+a) y-2z=2\\ -2x-\cos(y)+16\sin(z)=3  \end{array}\right\}$$ 

  7,4,1. Aplicar tres pasos del método de Gauss-Seidel al sistema:

$$\left.\begin{array}{r} (12+dni)x-y+z=1  \\ 5x+4y-2z=2  \\ -2x+y-6 z=3 \end{array}\right\}$$

  Discutir si podemos asegurar la convergencia.


 
       

D. Si a es 0,1,2,3,4, el ejercicio asignado es el D1. Si es 5,6,7,8,9, el D2.


D1. Tenemos que la proyección vertical de una vía de ferrocarril viene dada por la función:

$$g(t)=((\exp(t)+dni \sin(4 \pi t)/(4+t^2),\exp(-t)) , \ t\in[0,1].$$

Tenemos una estación eléctrica en el punto

$$P=(1,2)$$

Calcular la (menor) distancia entre la vía y la estación eléctrica. 

  a) Dibujar la curva usando el comando parametric_plot y el punto con point.

  b) Definir una función distancia que para cada $t\in [0,1]$, proporcione la distancia entre los puntos g(t) y P.

  c) Dibujar la gráfica de la función distancia.

  d) Aplicar un método para calcular los mínimos locales de la función distancia

  e) Calcular el punto de la curva donde se alcanza la mínima distancia.

 
       

D2. La elevación de un terreno está descrita por la función:

$$f(x,y)=x^4+y^4-x^2\,y^2+dni(x^2-y^2)-6 x y+x/2+y/2+10,$$

donde las variables $x,y$ toman valores entre $-3$ y $3$. Vamos a calcular las cimas, simas y collados de dicho terrano (máximos, mínimos y puntos de silla).  

  a) Dibujar la superficie. Se puede usar plot3d o contour_plot (o los dos). Para contour_plot, usaremos los parámetros fill=False,labels=True,contours=[0..26] (podéis usar help(contour_plot) si queréis incluir más opciones). A partir de la imagen, aproximar "a ojo" los máximos, mínimos y puntos de silla.

  b) Calcular las derivadas de la función f. Dibujar dónde se anulan las derivadas con implicit_plot.

  c) Aplicar un método para calcular los puntos críticos.

  d) Calcular la cota de los máximos, mínimos y puntos de inflexión. 

 
       

Planificación y trabajo en equipo

Trabajo en equipo

Cada miembro del equipo, deberá subir una memoria que contenga, al menos, los siguientes items:

  • Metodología seguida. Indicar cómo se ha organizado el trabajo, en qué tareas se ha dividido y a quien han sido asignadas. 
  • Calendario de trabajo. Indicar las reuniones que se vayan a programar y cómo se realizará la coordinación entre los miembros del equipo.
  • Incidencias. 

Planificación

Cada alumno debe subir una memoria con los siguientes puntos:

  • Planificación inicial. Una vez que se haya producido el reparto de tareas del equipo, deberá elaborar una planificación donde figurarán las distintas tareas que debe realizar, un tiempo estimado para cada una y el periodo de tiempo en el que lo realizará.  
  • Tiempo total empleado y tiempo empleado en cada tarea. 

Normas de entrega

  1. Rellenar en la parte superior el nombre de los integrantes del grupo.
  2. Compartir esta hoja de Sage con el profesor (GT_MM_1718).
  3. En el desplegable "File" de la parte superior de la página, elegir "Print"
  4. Imprimir la página resultante como pdf. 
  5. Subirla al campus virtual antes de la fecha límite, junto con la memoria de planificación y trabajo en equipo. Cada día a partir de la fecha límite, la nota sobre la que se puntúa el ejercicio bajará en un punto.

Criterios de evaluación

  • 40% de la calificación que los resultados y métodos aplicados sean correctos.
  • 15% de la calificación que los resultados estén correctamente explicados.
  • 15% de la calificación que los métodos empleados sean los más adecuados al problema.
  • 15% de la calificación que el trabajo haya sido convenientemente planificado (http://matematicas.unex.es/~trinidad/misc/planificacion.rubrica.pdf).
  • 15% de la calificación que se haya organizado el trabajo en equipo (http://matematicas.unex.es/~trinidad/misc/trabajo.equipo.rubrica.pdf).