GT_MM_1718_T3_Ejercicios

489 days ago by GT_MM_1718

Práctica de Métodos Matemáticos (Tema 3: Interpolación, ajuste, integración)

Alumnos que integran el grupo

  1. ...
  2. ...
  3. ...

Ejercicios

En los ejercicios siguientes, $DNI$ será la suma de los números de DNI de los miembros del grupo, $a$ la última cifra de ese número, $b$ la penúltima cifra de ese número, ... y $dni=DNI/2.9^{log(DNI)}$.


 
       



A. Elegir el apartado correspondiente a $a$:

   5,7,9. Obtener el polinomio de interpolación de los puntos $(-1,a),(1,0),(2,0),(3,a),(4,0),(5,b),(6,0),(7,c)$ mediante los polinomios de Lagrange.

   1,2,3. Obtener el polinomio de interpolación de los puntos $(-1,a),(1,b),(2,c),(3,a)$ mediante el método de Newton (diferencias divididas).

   4,6,8,0. Obtener el spline lineal que interpola los puntos $(-1,a),(1,b),(2,c),(3,a)$.


 
       

B. Ajustar mediante regresión el conjunto de datos correspondiente al número de horas de sol que tiene cada día del año en Badajoz, medidos en la estación meteorológica de Talavera, a una función del tipo

 

$$\mathbf{a\cos(2bx\pi/365+c)+d}$$

 

1º) Pintar los datos que se proporcionan a continuación (vector de puntos: cord)

 

2º) Definir el modelo para la función de ajuste $a*cos(b*x*2*pi/365+c)+d$

 

3º) Ajustar los datos al modelo y reflejar el ajuste en una gráfica

 

4º) Utilizar el modelo para predecir cuántas horas de sol habrá el próximo 25 de diciembre.


%auto horas_sol_talavera=[9.5, 9.5, 9.51667, 9.53333, 9.55, 9.56667, 9.58333, 9.6, 9.61667, 9.63333, 9.65, 9.66667, 9.68333, 9.71667, 9.73333, 9.75, 9.8, 9.81667, 9.83333, 9.86667, 9.88333, 9.91667, 9.95, 9.96667, 10, 10.05, 10.0667, 10.1, 10.1333, 10.1667, 10.1833, 10.2333, 10.2667, 10.3, 10.3333, 10.3667, 10.4, 10.45, 10.4833, 10.5167, 10.55, 10.5833, 10.6167, 10.6667, 10.7167, 10.75, 10.7833, 10.8167, 10.8667, 10.9, 10.9333, 10.9833, 11.0167, 11.05, 11.1167, 11.15, 11.1833, 11.2333, 11.2667, 11.3167, 11.35, 11.4, 11.4333, 11.4667, 11.5167, 11.55, 11.6, 11.6333, 11.6833, 11.7333, 11.7667, 11.8167, 11.85, 11.9, 11.9333, 11.9833, 12.0167, 12.0667, 12.1167, 12.15, 12.2333, 12.2833, 12.3167, 12.3667, 12.4, 12.45, 12.5, 12.5333, 12.5833, 12.6167, 12.6667, 12.7, 12.75, 12.8, 12.8333, 12.8833, 12.9167, 12.95, 12.9833, 13.0333, 13.0667, 13.1167, 13.15, 13.2, 13.2333, 13.2667, 13.3167, 13.35, 13.4, 13.4333, 13.4667, 13.5167, 13.55, 13.5833, 13.6333, 13.6667, 13.7, 13.75, 13.7833, 13.8167, 13.85, 13.8833, 13.9333, 13.9667, 14, 14.0167, 14.05, 14.0833, 14.1167, 14.15, 14.1833, 14.2167, 14.25, 14.2833, 14.3167, 14.35, 14.3833, 14.4, 14.4167, 14.45, 14.4833, 14.5, 14.5333, 14.5667, 14.5667, 14.6, 14.6167, 14.65, 14.65, 14.6833, 14.7, 14.7333, 14.7333, 14.75, 14.7833, 14.7833, 14.8, 14.8, 14.8333, 14.8333, 14.85, 14.85, 14.8667, 14.8667, 14.8833, 14.8833, 14.8833, 14.9, 14.9, 14.9, 14.8833, 14.9, 14.9, 14.9, 14.8833, 14.8833, 14.8833, 14.8667, 14.8667, 14.8667, 14.85, 14.85, 14.85, 14.8333, 14.8167, 14.7833, 14.7833, 14.7667, 14.75, 14.7333, 14.7167, 14.7, 14.6833, 14.65, 14.65, 14.6167, 14.6, 14.5667, 14.55, 14.5333, 14.5, 14.4667, 14.45, 14.4333, 14.4, 14.3667, 14.3333, 14.3167, 14.2833, 14.25, 14.2333, 14.2, 14.1667, 14.1333, 14.1, 14.05, 14.0167, 13.9833, 13.9667, 13.9333, 13.9, 13.8667, 13.8167, 13.7833, 13.75, 13.7, 13.6667, 13.6333, 13.6, 13.5667, 13.5333, 13.4833, 13.45, 13.4167, 13.3667, 13.3333, 13.2833, 13.25, 13.2, 13.1833, 13.1333, 13.1, 13.05, 13.0167, 12.9667, 12.9333, 12.8833, 12.85, 12.8, 12.7667, 12.7333, 12.6833, 12.65, 12.6, 12.5667, 12.5167, 12.4667, 12.4333, 12.4, 12.3667, 12.3167, 12.2667, 12.2333, 12.1833, 12.1333, 12.1, 12.05, 12.0167, 11.9833, 11.9333, 11.9, 11.85, 11.8167, 11.7667, 11.7333, 11.6833, 11.6333, 11.6, 11.55, 11.5167, 11.4667, 11.4667, 11.4333, 11.3833, 11.35, 11.3, 11.2667, 11.2167, 11.1833, 11.15, 11.1, 11.0667, 11.0167, 10.9833, 10.95, 10.9, 10.8667, 10.8333, 10.7833, 10.75, 10.7167, 10.6833, 10.6333, 10.6, 10.5667, 10.5333, 10.5, 10.45, 10.4167, 10.3833, 10.35, 10.3167, 10.2833, 10.25, 10.2167, 10.1833, 10.15, 10.1, 10.0833, 10.05, 10.0167, 9.98333, 9.96667, 9.93333, 9.91667, 9.88333, 9.85, 9.81667, 9.8, 9.76667, 9.75, 9.71667, 9.7, 9.68333, 9.65, 9.63333, 9.61667, 9.6, 9.58333, 9.58333, 9.56667, 9.55, 9.53333, 9.51667, 9.5, 9.48333, 9.48333, 9.46667, 9.46667, 9.46667, 9.45, 9.45, 9.45, 9.43333, 9.45, 9.43333, 9.45, 9.43333, 9.45, 9.45, 9.46667, 9.46667, 9.46667, 9.46667, 9.48333, 9.5] dia_horas_de_sol=zip([1..len(horas_sol_talavera)],horas_sol_talavera) 
       

C. Calcula la integral

$$\int_1^2 \frac{\sin(x)}{1+a}+b e^{-x} dx$$

con los métodos del trapecio, Simpson y trapecio con cinco intervalos. Compara el error cometido con la integral exacta.

 
       

D. Los datos de posición en proyección horizontal de la vía de un tren, medidos cada 2,88 metros están recogidos en la variable via, que aparece a continuación:


%auto import csv data=list( csv.reader(open(DATA+'via.csv','rU')) ) via=[(RDF(cx),RDF(cy)) for cx,cy in data[:20]] 
       

1. Representar los datos con el comando points

2. Interpolar los datos mediante el polinomio interpolador.

3. Interpolar los datos mediante splines cúbicos.


 
       

Planificación y trabajo en equipo

Trabajo en equipo

Cada miembro del equipo, deberá subir una memoria que contenga, al menos, los siguientes items:

  • Metodología seguida. Indicar cómo se ha organizado el trabajo, en qué tareas se ha dividido y a quien han sido asignadas. 
  • Calendario de trabajo. Indicar las reuniones que se vayan a programar y cómo se realizará la coordinación entre los miembros del equipo.
  • Incidencias. 

Planificación

Cada alumno debe subir una memoria con los siguientes puntos:

  • Planificación inicial. Una vez que se haya producido el reparto de tareas del equipo, deberá elaborar una planificación donde figurarán las distintas tareas que debe realizar, un tiempo estimado para cada una y el periodo de tiempo en el que lo realizará.  
  • Tiempo total empleado y tiempo empleado en cada tarea. 

Normas de entrega

  1. Rellenar en la parte superior el nombre de los integrantes del grupo.
  2. Compartir esta hoja de Sage con el profesor (GT_MM_1718).
  3. En el desplegable "File" de la parte superior de la página, elegir "Print"
  4. Imprimir la página resultante como pdf. 
  5. Subirla al campus virtual antes de la fecha límite, junto con la memoria de planificación y trabajo en equipo. Cada día a partir de la fecha límite, la nota sobre la que se puntúa el ejercicio bajará en un punto.

Criterios de evaluación

  • 40% de la calificación que los resultados y métodos aplicados sean correctos.
  • 15% de la calificación que los resultados estén correctamente explicados.
  • 15% de la calificación que los métodos empleados sean los más adecuados al problema.
  • 15% de la calificación que el trabajo haya sido convenientemente planificado (http://matematicas.unex.es/~trinidad/misc/planificacion.rubrica.pdf).
  • 15% de la calificación que se haya organizado el trabajo en equipo (http://matematicas.unex.es/~trinidad/misc/trabajo.equipo.rubrica.pdf).
#auto def matriz_spline(puntos,tipo='natural'): # Comenzamos creando matrices vacías y definiendo algunos valores MP=Matrix(puntos) n=MP.dimensions()[0]-1 A=matrix(RDF,4*n) b=vector(RDF,4*n) # Rellenamos las condiciones de los puntos extremos A[0,0:4]=matrix(RDF,[[1,MP[0,0],MP[0,0]^2,MP[0,0]^3]]); b[0]=MP[0,1] A[1,(4*n-4):(4*n)]=matrix(RDF,[[1,MP[n,0],MP[n,0]^2,MP[n,0]^3]]); b[1]=MP[n,1] # Rellenamos las condiciones que dependen del tipo de método if tipo=='natural': # La derivada segunda en el origen A[2,0:4]=matrix(RDF,[[0,0,2,6*MP[0,0]]]); b[2]=0 # La derivada segunda en el final A[3,(4*n-4):(4*n)]=matrix(RDF,[[0,0,2,6*MP[n,0]]]); b[3]=0 elif tipo=='periodico': A[2,0:4]=matrix(RDF,[[0,1,2*MP[0,0],6*MP[0,0]]]) A[3,0:4]=matrix(RDF,[[0,0,2,6*MP[0,0]]]) b[2]=0 A[2,(4*n-4):(4*n)]=matrix(RDF,[[0,-1,-2*MP[n,0],-3*MP[n,0]^2]]) A[3,(4*n-4):(4*n)]=matrix(RDF,[[0,0,-2,-6*MP[n,0]]]) b[3]=0 # Rellenamos las condiciones de los puntos intermedios for i in range(1,n): A[4*i,4*(i-1):4*i]=matrix(RDF,[[1,MP[i,0],MP[i,0]^2,MP[i,0]^3]]); b[4*i]=MP[i,1] A[4*i+1,4*i:4*(i+1)]=matrix(RDF,[[1,MP[i,0],MP[i,0]^2,MP[i,0]^3]]); b[4*i+1]=MP[i,1] A[4*i+2,4*(i-1):4*(i+1)]=matrix(RDF,[[0,1,2*MP[i,0],3*MP[i,0]^2, 0,-1,-2*MP[i,0],-3*MP[i,0]^2]]); b[4*i+2]=0 A[4*i+3,4*(i-1):4*(i+1)]=matrix(RDF,[[0,0,2,6*MP[i,0],0,0,-2,-6*MP[i,0]]]); b[4*i+3]=0 return A,b