GIIT_AMA_1718_T3_Ejercicios

556 days ago by GIIT_AMA_1718

Práctica de Ampliación de Matemáticas (Tema 3: Métodos Numéricos)

Alumnos que integran el grupo

  1. ...
  2. ...
  3. ...

Ejercicios

 
       

A. Calculando puntos de funciones implícitas

El comando implicit_plot de Sage dibuja una curva definida mediante una ecuación implícita. Vamos a intentar replicarlo, en un caso simplificado. Para ello, supongamos que tenemos una curva implícita $g(x,y)=0$ tal que en el intervalo $[0,1]\times [0,1]$ define una función $x=f(y)$, es decir, para cada coordenada $y_0$ entre $0$ y $1$ existe una única coordenada $x_0$ entre $0$ y $1$ tal que $g(x_0,y_0)=0$. Es más, vamos a suponer que $g(0,y) g(1,y)<0$ para cada $y\in[0,1]$.

Por ejemplo, podemos considerar $g(x,y)=x(1+y)-0.5$ o $\cos(3x-0.1)+e^{-xy}-1$ (sus gráficas están dibujadas abajo).

Se pide crear una función que reciba $g$ y devuelva 20 puntos de la gráfica de la curva $g(x,y)=0$ (con un error menor que $0.001$ en la coordenada y). Para ello generaremos 20 valores equiespaciados de $y$ entre $0$ y $1$ y para cada uno de esos valores aplicaremos un método numérico para aproximar la coordenada $x$ tal que $g(x,y)=0$. Se valorará que el método funcione y que sea rápido. 

g(x,y)=x*(1+y)-0.5 implicit_plot(g(x,y)==0,(x,0,1),(y,0,1)) 
       
g(x,y)=cos(3*x-0.1)+exp(-x*y)-1 implicit_plot(g(x,y)==0,(x,0,1),(y,0,1)) 
       
 
       

B. Sistemas lineales

Vamos a comparar los distintos métodos de resolución de sistemas lineales.

def gen_matriz_diagonalmente_dominante(n): A=matrix(RDF,[[random() if i!=j else n^2 for i in range(n)] for j in range(n)]) return A 
       
def gen_matriz_diagonalmente_no_dominante(n): A=matrix(RDF,[[random()/10^n if i==j else random() for i in range(n)] for j in range(n)]) return A 
       

Recuerda que usando %time al comienzo de una celda mides el tiempo que tarda en ejecutarse. Cada grupo deberá elegir la combinación de matrices/métodos correspondientes a la segunda cifra no nula de la suma de sus DNIs según la siguiente lista:

  1. Matriz diagonalmente dominante y comparar Gauss-pivote con Jacobi
  2. Matriz diagonalmente dominante y comparar Gauss con Jacobi
  3. Matriz diagonalmente dominante y comparar Gauss-pivote con Gauss-Seidel
  4. Matriz diagonalmente dominante y comparar Gauss con Seidel
  5. Matriz diagonalmente no dominante y comparar Gauss-pivote con Jacobi
  6. Matriz diagonalmente no dominante y comparar Gauss con Jacobi
  7. Matriz diagonalmente no dominante y comparar Gauss-pivote con Gauss-Seidel
  8. Matriz diagonalmente no dominante y comparar Gauss con Seidel
  9. Matriz diagonalmente no dominante y comparar Gauss con Gauss con pivote.

Una vez elegido el generador de matrices y los métodos a comparar se deberá:

  1. Crear un ejemplo de matriz con el generador y un vector independiente (aleatorio o igual a 1 en todas sus posiciones, a elegir)
  2. Resolver el ejemplo con cada uno de los métodos. Si es iterativo, hacer 5 iteraciones. Comparar el error residual (norm(A*x-b)/norm(b)) con cada uno de los métodos.
  3. Generar un ejemplo en dimensión 100 y repetir b), calculando ahora además el tiempo que tarda en ejecutarse cada método.
 
       

C. Curvas paramétricas e implícitas

Se consideran las curvas paramétricas e implícitas siguientes:

$$r(t)=5+2sin(3t)+2sin(5t), p(t)=(r(t)cos(t),r(t)sin(t)), t\in[0,2\pi]$$

$$q(t)=(2cos(t),2sin(t)), t\in[0,2\pi]$$

$$f(x,y)=(x^2+y^2-1)^3-x^2y^3$$

$$g(x,y)=exp((x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2))-1$$

Elegir el problema que sea congruente módulo 6 con vuestro número de grupo.

  1. Calcular los puntos de intersección de las curvas implícitas $f(x,y)=0$ y $g(x,y)=0$.
  2. Calcular el punto de $p(t)$ más cercano al origen de coordenadas.
  3. Calcular las coordenadas del rectángulo donde se encerraría la gráfica de $p(t)$,
  4. Calcular los puntos de intersección de las curvas paramétricas $p(t)$ y $q(t)$, $t\in[0,2\pi]$.
  5. Calcular las tangentes de la curva implícita $f(x,y)=0$ que pasan por el punto $(0,4)$.
  6. Calcular las tangentes de la curva paramétrica $q(t)$ que pasan por el punto $(0,4)$

Para cada problema:

  1. Representar las curvas/puntos
  2. Expresar el problema como la resolución de un sistema de ecuacioens.
  3. Elegir un método numérico apropiado.
  4. Obtener los valores del método.
  5. Representar la solución.
 
       

Planificación y trabajo en equipo

Trabajo en equipo

Cada miembro del equipo, deberá subir una memoria que contenga, al menos, los siguientes items:

  • Metodología seguida. Indicar cómo se ha organizado el trabajo, en qué tareas se ha dividido y a quien han sido asignadas. 
  • Calendario de trabajo. Indicar las reuniones que se vayan a programar y cómo se realizará la coordinación entre los miembros del equipo.
  • Incidencias. 

Planificación

Cada alumno debe subir una memoria con los siguientes puntos:

  • Planificación inicial. Una vez que se haya producido el reparto de tareas del equipo, deberá elaborar una planificación donde figurarán las distintas tareas que debe realizar, un tiempo estimado para cada una y el periodo de tiempo en el que lo realizará.  
  • Tiempo total empleado y tiempo empleado en cada tarea. 

Normas de entrega

  1. Rellenar en la parte superior el nombre de los integrantes del grupo.
  2. Compartir esta hoja de Sage con el profesor (GIIT_AMA_1718).
  3. En el desplegable "File" de la parte superior de la página, elegir "Print"
  4. Imprimir la página resultante como pdf. 
  5. Subirla al campus virtual antes de la fecha límite, junto con la memoria de planificación y trabajo en equipo. Cada día a partir de la fecha límite, la nota sobre la que se puntúa el ejercicio bajará en un punto.

Criterios de evaluación

  • 40% de la calificación que los resultados y métodos aplicados sean correctos.
  • 15% de la calificación que los resultados estén correctamente explicados.
  • 15% de la calificación que los métodos empleados sean los más adecuados al problema.
  • 15% de la calificación que el trabajo haya sido convenientemente planificado (http://matematicas.unex.es/~trinidad/misc/planificacion.rubrica.pdf).
  • 15% de la calificación que se haya organizado el trabajo en equipo (http://matematicas.unex.es/~trinidad/misc/trabajo.equipo.rubrica.pdf).