CAL_1819_Practica1

172 days ago by sevillad1819

Práctica 1 de Cálculo: Límites de sucesiones y funciones

 

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Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo AJO_1516_Practica2_sevillad.
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  3. Trabaja la práctica.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un único fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
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Definir una sucesión con Sage es igual que definir una función. Por ejemplo, para definir una sucesión de números reales $a_n=1/n$ y una sucesión $b_n=(2n+(-1)^n)/(n+1)$ procederemos así:

a(x)=1/x b(x)=(2*x+1+(-1)^x)/(x+1) 
       

Calculamos los términos  $a_2$ y $b_3$:

a(2); b(3) 
       
1/2
3/2
1/2
3/2

Como vamos a querer manejar bastantes términos de una misma sucesión, vamos a aprender una de los elementos fundamentales para ello: las listas.

Una lista no es más que un conjunto de cosas entre corchetes y separadas por comas. Habitualmente serán números, aunque podrían ser muchas otras cosas.

Un ejemplo:

l = [1,2,3,10,100] l 
       
[1, 2, 3, 10, 100]
[1, 2, 3, 10, 100]

A continuación veremos un par de maneras de usar listas para calcular varios términos de una sucesión.

La primera es usar un bucle (existen en casi todos los lenguajes de programación que puedas haberte encontrado). En el ejemplo siguiente se muestran los primeros diez términos de la primera sucesión. Fíjate en varias cosas:

  • Una lista, al final de la primera línea, cuyos valores vamos a ir tomando para hacer algo (evaluar la sucesión).
  • El uso de una variable "n" que va a ir tomando los valores de la lista uno a uno.
  • La fórmula que calcula cada término (aplicar "a" y redondear), en línea aparte y con espacios delante.
for n in [1..10]: a(n).n() 
       
1.00000000000000
0.500000000000000
0.333333333333333
0.250000000000000
0.200000000000000
0.166666666666667
0.142857142857143
0.125000000000000
0.111111111111111
0.100000000000000
1.00000000000000
0.500000000000000
0.333333333333333
0.250000000000000
0.200000000000000
0.166666666666667
0.142857142857143
0.125000000000000
0.111111111111111
0.100000000000000

La segunda manera de calcular con listas es realmente la misma idea: ya tenemos una lista (de índices) y les aplicamos la misma función (calcular el término que sea). El formato es

[f(x) for x in L]

donde la función "f" se aplica a cada elemento de la lista "L".

En el ejemplo siguiente hacemos varias cosas: calculamos varios términos de cada sucesión, creamos dos gráficas y las dibujamos juntas.

m1=[a(n) for n in [1..10]] m2=[b(n) for n in [1..10]] list_plot(m1)+list_plot(m2,color='red',figsize=4) 
       
 
       

Ejercicio 1 (4 puntos). Dada la sucesión $c_n=\frac{n-1}{n}$:

  • Calcula sus primeros 25 términos y con lo obtenido estima el valor del límite.
  • Representa gráficamente los puntos de coordenadas $(n,c_n)$ y comprueba que la sucesión tiende al límite que has estimado.
 
       
 
       
 
       

Podemos trabajar con sucesiones definidas por recurrencia. Por ejemplo los 30 primeros términos de la sucesión $c_0=\sqrt{2}$, $c_n=\sqrt{2+c_{n-1}}$ se pueden generar como una lista de valores en la que el primer término es $c_0=\sqrt{2}$ y después vamos añadiendo (con el comando append) los siguientes términos:

c=[sqrt(2)] for n in [1..10]: c.append(sqrt(2+c[n-1])) c 
       
[cc.n() for cc in c] 
       

Pintemos la sucesión

list_plot(c) 
       

Como vemos, tanto númerica como gráficamente, el límite en este caso parece ser 2.

Sage tiene un comando para calcular directamente el límite de una sucesión definida mediante su término general. Por ejemplo, para las dos del principio:

limit(a(x),x=oo) 
       
limit(b(x),x=oo) 
       

A veces la sucesión no posee límite (es oscilante). Por ejemplo,  $\{cos(n)\}$. Mira lo que nos dice Sage.

limit(cos(x),x=oo) 
       
ind
ind

Podemos calcular límites de expresiones más complicadas:  $\displaystyle\left\{\frac{\sqrt{n^2+2n}}{\sqrt{n^2-1}}\right\}$:

 p
n2 + 2n
p
n2 U00100000 1
!n
:
limit(sqrt(x^2+2*x)/sqrt(x^2-1),x=oo) 
       
 
       

Ejercicio 2 (4 puntos). Dada $d_n=(1+1/n)^n$:

  • Calcula sus primeros 50 términos de manera aproximada, y con lo obtenido estima el valor del límite.
  • Representa gráficamente los puntos de coordenadas $(n,d_n)$ y comprueba que la sucesión tiende al límite que has estimado.
  • Utilizando el comando apropiado, calcula el límite de la sucesión.


 
       
 
       
 
       
 
       

Como ya vimos en el tutorial, es muy sencillo definir funciones con Sage. Vamos a ver cómo pintar, calcular límites de funciones de variable real, y estudiar la continuidad.

Por ejemplo, para definir $f(x)=\displaystyle\frac{x^2-1}{x}$:

f(x)=(x^2-1)/x 
       

Una de las formas de intentar calcular el límite de una función en un punto $x_0$ es calcular los valores que toma la función en puntos cercanos a $x_0$. Por ejemplo, si queremos calcular el límite de $f(x)$ en 0, para aproximarnos, podemos calcular:

f(-1), f(-0.1), f(-0.01), f(-0.001); f(1), f(0.1), f(0.01), f(0.001) 
       
(0, 9.90000000000000, 99.9900000000000, 999.999000000000)
(0, -9.90000000000000, -99.9900000000000, -999.999000000000)
(0, 9.90000000000000, 99.9900000000000, 999.999000000000)
(0, -9.90000000000000, -99.9900000000000, -999.999000000000)

También podemos dibujarla, obviamente:

plot(f(x),(x,-2,2)) 
       

La gráfica no se ve demasiado clara. Para "arreglarlo", podemos usar las opciones ymax, ymin que fijan los límites superior e inferior para el eje Y.

plot(f(x),(x,-2,2),ymin=-10,ymax=10) 
       

                                
                            

                                

Veamos cómo funciona el comando limit.

help(limit) 
       

Volvemos a estudiar la función $f(x)$:

f.limit(x=2) 
       
x |--> 3/2
x |--> 3/2
f.limit(x=0) 
       
x |--> Infinity
x |--> Infinity
f.limit(x=0,dir='right') 
       
x |--> -Infinity
x |--> -Infinity
f.limit(x=0,dir='left') 
       
x |--> +Infinity
x |--> +Infinity
f.limit(x=oo) 
       
x |--> +Infinity
x |--> +Infinity
f.limit(x=-oo) 
       
x |--> -Infinity
x |--> -Infinity

En resumen, la función $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$ es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$.

En 0, posee una discontinuidad inevitable, de salto infinito.

Tiende a $\infty$ cuando  $x \to\infty$ y a tiende a $-\infty$ cuando  $x \to-\infty$.

 

Probemos con otra función, $g(x)=\sin(1/x)$, y el límite en 0

g(x)=sin(1/x) 
       
plot(g(x)) 
       

                                
                            

                                

Si queremos intentar afinar un poco más cerca del origen, pintémosla entre -0.1 y 0.1, por ejemplo.

plot(g(x),(x,-0.1,0.1)) 
       

                                
                            

                                

Entonces, ¿cuál es el límite? Gráficamente, parece que no existe.

g.limit(x=0,dir='left') 
       
x |--> ind
x |--> ind
g.limit(x=0,dir='right') 
       
x |--> ind
x |--> ind

Efectivamente, la función $g(x)=\sin(1/x)$ no posee límite en 0. En tal punto, tiene una discontinuidad inevitable.

Ejercicio 3 (8 puntos). Estudia la continuidad de $f(x)=x^2\sin(1/x)$, $x\neq 0$; $f(0)=1$.

 
       
 
       

Ejercicio 4 (8 puntos). Estudia la continuidad de $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$.

 
       
 
       

Ejercicio 5 (8 puntos). Determina los valores de $m$ y $n$ para los que la siguiente función definida a trozos es continua:

\[ f(x)=\left\{\begin{array}{lr} \sin(x), & x\leq -\pi/2 \\ m\sin(x)+n, & -\pi/2<x<\pi/2 \\ 2\cos(x), & x\geq \pi/2 \end{array}\right. \]