CAL_1819_Practica2

320 days ago by sevillad1819

 Práctica 2 de Cálculo: derivadas

 

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle o calendario de la asignatura. Hasta una semana de retraso: vale hasta el 50%. Más de una semana de retraso: no cuenta para la nota.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo AJO_1516_Practica2_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "Archivo...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1819 mediante el botón Compartir de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un único fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar el botón Imprimir de arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) de la hoja a imprimir, y convertirlas a PDF uniendo después los distintos ficheros generados.

 

Como la derivada es un concepto geométrico además de ser analítico (de cálculo), Sage nos puede venir muy bien para hacer cosas relacionadas con ellas. Para empezar, es muy fácil calcular la función derivada (y evaluarla después).

 

f(x) = x^3 f.diff() 
       
x |--> 3*x^2
x |--> 3*x^2
g(x) = f.diff() g(2) 
       
12
12

Si queremos dibujar la recta tangente a una gráfica de una función en un punto concreto, tenemos que escribir a mano la función que representa esa recta. Por suerte, siempre es la misma fórmula, así que podremos copiar y pegar el código en muchas ocasiones.

x0 = 2 r(x) = (x-x0)*f.diff()(x0)+f(x0) plot(f,(x,1,3))+plot(r,(x,1,3),color="red",figsize=4) 
       
 
       

A continuación tienes una pequeña aplicación interactiva sobre la recta tangente.

pretty_print(html('<h2>Tangente a una curva en un punto</h2>')) # http://wiki.sagemath.org/interact/calculus#A_simple_tangent_line_grapher @interact def tangent_line(f = input_box(default=sin(x)), xbegin = slider(0,10,1/10,0), xend = slider(0,10,1/10,10), x0 = slider(0, 1, 1/100, 1/2, label="i/d")): prange = [xbegin, xend] x0i = xbegin + x0*(xend-xbegin) var('x') df = diff(f) x0in = x0i.n() tanf = f(x=x0i) + df(x=x0i)*(x-x0i) tanfn = expand(f(x=x0in) + df(x=x0in)*(x-x0in)) fplot = plot(f, prange[0], prange[1]) print 'La recta tangente es y = ' + tanf._repr_() print ' = ' + tanfn._repr_() tanplot = plot(tanf, prange[0], prange[1], rgbcolor = (1,0,0)) fmax = f.find_local_maximum(prange[0], prange[1])[0] fmin = f.find_local_minimum(prange[0], prange[1])[0] show(fplot + tanplot + point((x0i,f(x=x0i)),size=20), xmin = prange[0], xmax = prange[1], ymax = fmax, ymin = fmin, figsize=5) 
       

Click to the left again to hide and once more to show the dynamic interactive window

 
       

Ejercicio 6 (4 puntos). Dada la función $f(x)=x^4-3x^3+2x+1$:

  • Calcula su velocidad media de cambio en el intervalo $[-1,3]$.
  • Calcula su derivada en varios puntos del intervalo y relaciónalos con lo calculado en el apartado anterior.
 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 7 (4 puntos). Escribe y dibuja una función que sea creciente en el intervalo $(0,2)$ y decreciente en el intervalo $(3,4)$. Fuera de esos intervalos puede ser de cualquier manera.

 
       
 
       

Ejercicio 8 (4 puntos). Escribe y dibuja una función que sea convexa en el intervalo $(0,2)$ y cóncava en el intervalo $(3,4)$. Fuera de esos intervalos puede ser de cualquier manera.

(Convexa: que tiene la forma de la función $x^2$. Cóncava: que tiene la forma de $-x^2$.)

 
       
 
       
 
       

 

Podemos calcular el polinomio de Taylor usando la fórmula, a partir de las derivadas de la función en un punto.

$$P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\dfrac{f''(a)}{n!}(x-a)^n$$

Por ejemplo, calculemos el polinomio de Taylor de $f(x)=\sin(x)$ de grado 4 en $a=0$. Necesitaremos las funciones siguientes:

f(x)=sin(x) 
       
f.diff(x) 
       
x |--> cos(x)
x |--> cos(x)
f.diff(x,2) 
       
x |--> -sin(x)
x |--> -sin(x)
f.diff(x,3) 
       
x |--> -cos(x)
x |--> -cos(x)
f.diff(x,4) 
       
x |--> sin(x)
x |--> sin(x)

Para calcular el factorial, usamos la función:

factorial(4) 
       
24
24
P(x) = f(0)+f.diff(x)(0)*x+f.diff(x,2)(0)/factorial(2)*x^2+f.diff(x,3)(0)/factorial(3)*x^3+f.diff(x,4)(0)/factorial(4)*x^4 P 
       
x |--> -1/6*x^3 + x
x |--> -1/6*x^3 + x

Aunque, claro, existe un comando para calcular el polinomio de Taylor de una función. Hay que dar como argumentos la variablen el punto y el grado del polinomio.

help(taylor) 
       
P4(x) = taylor(f(x),x,0,4) show(P4) 
       

                                
                            

                                
P10(x) = taylor(f(x),x,0,10) show(P10) 
       

                                
                            

                                

Observemos cómo se acercan las funciones en un entorno del 0 (donde hacemos el desarrollo). La aproximación de grado 10 es muy buena, no se distingue a ojo.

plot(f(x),(x,-pi,pi))+plot(P4(x),(x,-pi,pi),color='green',figsize=4) 
       
plot(f(x),(x,-pi,pi))+plot(P10(x),(x,-pi,pi),color='red',figsize=4) 
       

Esto nos puede servir para aproximar el valor del sin(x) en un entorno de 0. Por ejemplo, para estimar sin(0.5):

P4(0.5) 
       
0.479166666666667
0.479166666666667
P10(0.5) 
       
0.479425538616416
0.479425538616416

El error cometido es:

sin(0.5)-P4(0.5) 
       
0.000258871937536320
0.000258871937536320
sin(0.5)-P10(0.5) 
       
-1.22128973600866e-11
-1.22128973600866e-11

Ojo, aquí estamos "haciendo trampa": cuando aproximamos algo es porque no tenemos ningún método para calcularlo, así que en un caso práctico no podríamos saber cuál es el error de aproximación. Hay técnicas para acotarlo, pero no vamos a verlas aquí.

 

Ejercicio 9a (4 puntos). Queremos estimar el valor de $e^{0.5}$. Para eso vamos a usar la función $f(x)=exp(x)$ y aproximaremos desde el punto $a=0$.

  • Calcula el polinomio de Taylor de grado 1 y úsalo para aproximar el valor buscado.
  • Haz lo mismo con los polinomios de grados 5 y 10.
  • Dibuja la función $f$ y los tres polinomios calculados en una misma gráfica (para que se distingan tendrás que decorarlos como aprendiste al final del tutorial).


 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 9b (4 puntos). Escribe tus conclusiones.

 
       

Ejercicio 10a (8 puntos). Vamos a aproximar $\sqrt{61}$. Usaremos la función $f(x)=\sqrt{x}$.

  • Elige un valor para $a$. Justifica tu elección. Calcula dos polinomios de Taylor de distintos grados. Úsalos para estimar el valor buscado.
  • Elige ahora otro valor para $a$, de manera que sepas que las aproximaciones van a ser fracciones. Calcula dos polinomios de Taylor de los mismos grados que antes y estima dos veces.


 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 10b (4 puntos). Escribe tus conclusiones.

 
       

Ejercicio 11 (4 puntos). Aproxima el número $\pi$ utilizando algún polinomio de Taylor. Pista: busca funciones conocidas cuyo valor para algún $x$ sea $\pi/n$, y a partir de ahí escribe la $f$ a utilizar y elige el punto $a$.