CAv_1819_Practica2

166 days ago by sevillad1819

Práctica 2 de Cálculo Avanzado

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle o calendario de la asignatura. Hasta una semana de retraso: cuenta hasta el 50% de la nota. Más de una semana de retraso: no cuenta para la nota.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo CAv_1314_Practica7_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "File...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1819 mediante el botón Compartir de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica: los ejercicios opcionales son solo para subir nota.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar Imprimir arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) y convertirlas a un único fichero PDF.

 

Repasemos algunas cosas que podemos hacer con Sage. Recuerda que puedes ver la ayuda de un comando poniendo ? al final de su nombre; también tienes el tutorial si es necesario.

Para empezar ya sabemos definir funciones en varias variables y hacer operaciones con ellas: evaluar, derivar e integrar, etc. Suele ser buena idea empezar definiendo las variables, como en el ejemplo siguiente (la x no hace falta definirla porque Sage lo hace automáticamente).

var('y') f(x,y) = x^3+x^2+3*y^2 f; f(2,3); diff(f,y) 
       
(x, y) |--> x^3 + x^2 + 3*y^2
39
(x, y) |--> 6*y
(x, y) |--> x^3 + x^2 + 3*y^2
39
(x, y) |--> 6*y

Como se comentaba en el tutorial, no es necesario poner la variable al definir una función. Esto hace más difícil la evaluación pero más simple el resultado. A continuación el mismo cálculo con esa otra sintaxis.

f = x^3+x^2+3*y^2 f; f(x=2,y=3); diff(f,y) 
       
x^3 + x^2 + 3*y^2
39
6*y
x^3 + x^2 + 3*y^2
39
6*y

Ejercicio 8 (8 puntos). ¿En qué puntos de su dominio son derivables las siguientes funciones? Intenta calcular todo con Sage, pero si necesitas calcular $u,v$ a mano incluye una foto de los cálculos.

  • $f(z)=2z^3-iz+i+1$
  • $g(z)=-|iz|^2$
  • $h(z)=\overline{z}+z$
  • $j(z)=sin(z^2)$

Pista: busca las funciones real e imag.

 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 9 (4 puntos, opcional). Estima aproximadamente el valor de la derivada de la función $\cos(i-z)$ en el punto $z=0$ utilizando una aproximación de la recta tangente. Hazlo dos veces, cada una con una dirección distinta. Luego calcula la derivada con Sage y compara los resultados.

 
       
 
       
 
       
 
       

Además de gráficas de funciones, podemos dibujar curvas paramétricas. Se hace dando en un vector las partes real e imaginaria, y después una terna con la variable y su intervalo. En el ejemplo siguiente hay espacios adicionales en la función para que veas bien los parámetros.

 

var('t') parametric_plot( (cos(t),sin(t)), (t, 0, pi) ).show(figsize=4) 
       

En el tutorial aprendimos a unir varias gráficas en un solo dibujo.

var('t') p1 = parametric_plot((cos(t),sin(t)),(t,0,pi/2)) p2 = point([(1,1),(2,-1)],size=50) (p1+p2).show(aspect_ratio=1, figsize=4) 
       

Ejercicio 10 (4 puntos). Considera el círculo de radio 3 y centro $4+i$ (no confundir con la circunferencia). Encuentra una curva cerrada cuya imagen sea el borde de un trozo del círculo; no vale el círculo entero. Dibuja la curva con Sage (un solo dibujo).

 
       
 
       

Ejercicio 11 (8 puntos). Calcula $\displaystyle\int_\gamma f(z) \,dz$ en los siguientes casos usando la definición (es decir, haciendo dos integrales reales, para las partes real e imaginaria). Puedes empezar a mano si quieres (incluye una foto de todo), pero calcula las integrales reales con Sage.

  • $f(z)=i$ donde $\gamma(t)=it+t^2$ con $t\in[-1,2]$.

  • $f(z)=(1+z)^2$ donde $\gamma$ es el segmento de recta de $1-i$ a $3-i$.

  • $f(z)=e^{2z-1}$ donde $\gamma$ es el segmento de recta de $i$ a $-3i$.

  • $f(z)=1/z$ donde $\gamma$ es media circunferencia con centro en 0, de $2i$ a $-2i$, en el sentido de las agujas del reloj (un dibujo te ayudará a entender la curva).

 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 12 (4 puntos). Calcula las integrales del ejercicio anterior usando el teorema fundamental del cálculo siempre que sea posible, e indícalo cuando no se pueda.

 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 13 (4 puntos). Construye tres curvas que vayan del punto $3i$ al punto $2+i$. Dos de ellas deben ser equivalentes y la tercera no; además por lo menos una debe ser una curva a trozos. Dibuja las curvas por separado.

 
       
 
       
 
       

Ejercicio 14 (4 puntos, opcional). Calcula la integral de $\overline{z}$ a lo largo de las tres curvas del ejercicio anterior.