CAL_1819_Practica4

220 days ago by sevillad1819

 Práctica 4 de Cálculo: funciones de dos variables

 

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle o calendario de la asignatura. Hasta una semana de retraso: vale hasta el 50%. Más de una semana de retraso: no cuenta para la nota.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo AJO_1516_Practica2_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "Archivo...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1819 mediante el botón Compartir de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un único fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar el botón Imprimir de arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) de la hoja a imprimir, y convertirlas a PDF uniendo después los distintos ficheros generados.

 

Curvas de nivel

Un modo de representar funciones de dos variables, $f(x,y)$, es mostrar las curvas de nivel, es decir, las curvas implícitas definidas por $f(x,y)=z$, para ciertos valores de $z$. En Sage, podemos representar curvas de nivel utilizando contour_plot. En este caso Sage coloreará con tonos grises las zonas entre curvas de nivel.

 

var('x,y') contour_plot(sqrt(x^2+y^2),(x,-5,5),(y,-5,5),figsize=5) 
       
var('x,y') contour_plot((x^3+y^3)/(x^2+y^2),(x,-2,2),(y,-2,2),figsize=5) 
       

Algunas opciones: podemos sólo dibujar las curvas de nivel utilizando fill. También podemos cambiar el mapa de color  usando cmap y mostrar las alturas con labels.

var('x,y') contour_plot(y^2+1-x^3-x,(x,-5,5),(y,-5,5),fill=False,cmap='hsv',labels=True,figsize=5) 
       

Ahora cambiemos las etiquetas a color negro y con formato sin decimales.

var('x,y') contour_plot(y^2+1-x^3-x,(x,-5,5),(y,-5,5),fill=False,cmap='hsv',labels=True,label_fmt="%1.0f",label_colors='black',figsize=5) 
       

Otra cosa útil es poder decir qué niveles o alturas queremos ver. Para eso tenemos la opción contours. Si ponemos un número, será la cantidad de niveles (que Sage elige automáticamente). Si ponemos una lista, esos serán los valores usados. Además, con colorbar=True podemos ver el significado de los colores en una barra vertical a la derecha.

var('x,y') contour_plot(y^2+1-x^3-x,(x,-5,5),(y,-5,5),cmap='hot',labels=True,contours=50,colorbar=True,figsize=5) 
       
var('x,y') contour_plot(y^2+1-x^3-x,(x,-5,5),(y,-5,5),cmap='hot',labels=True,contours=[-80,-10,0,20,100],colorbar=True,figsize=5) 
       
 
       

Gráficas tridimensionales

Sage puede dibujar las gráficas de funciones de dos variables, que son superficies tridimensionales. A continuación, algunos ejemplos.

var('x,y') plot3d(y^2+1-x^3-x,(x,-5,5),(y,-5,5)) 
       
hs_err_pid41834.log

En la imagen anterior, puedes pulsar con el ratón para hacerla interactiva (puede no funcionar dependiendo de tu navegador). Prueba a arrastrarla o a usar la rueda del ratón para acercarla. Con el botón derecho aparece un menú de opciones (prueba "Spin", por ejemplo).

var('x,y') f(x,y)=x^2-y^2 plot3d(f(x,y),(x,-5,5),(y,-5,5),opacity=0.5) 
       
hs_err_pid41853.log

Más ejemplos.

plot3d(sqrt(x^2+y^2),(x,-2,2),(y,-2,2)) 
       
plot3d(x*y/(x^2+y^4),(x,-1,1),(y,-1,1)) 
       
plot3d(x*y^3/(x^2+y^6),(x,-2,2),(y,-2,2)) 
       

Finalmente, un comando útil para dibujar regiones definidas de manera implícita es implicit_plot. En 3 dimensiones, es implicit_plot3d. A continuación dibujamos la esfera unidad, cuya ecuación es $x^2+y^2+z^2=1$.

var('x,y,z') implicit_plot3d(x^2+y^2+z^2==1,(x,-2,2),(y,-2,2),(z,-2,2),color='red') 
       
hs_err_pid42417.log
 
       

Ejercicio 16 (4 puntos). Dibuja en una gráfica las curvas de nivel de $f(x,y)=x^3/y$ para las alturas 1,2,3,4,5. Investiga las curvas de nivel de alturas -3,-2,-1,0.

 
       
 
       

Ejercicio 17 (4 puntos). Dibuja la gráfica tridimensional de la función $f(x,y)=x^3+3x^2-9x+y^3-12y$ para $x\in[-4,2]$ e $y\in[-3,3]$. Esa gráfica muestra un valor máximo y un valor mínimo (cerca de esquinas opuestas); moviendo la gráfica interactivamente los verás. Haz un dibujo con curvas de nivel para ese mismo dominio, donde se aprecien lo mejor posible esos puntos más alto y más bajo.

 
       
 
       
 
       
 
       

Ejercicio 18 (4 puntos). Dibuja la gráfica tridimensional y algunas curvas de nivel ilustrativas de $f(x,y)=\displaystyle\frac{x^2}{x^2+y^2}$. ¿Qué observas en $(0,0)$?

 
       
 
       

Ejercicio 19 (4 puntos). Para la función $f(x,y)=\displaystyle\frac{x^2}{x^2+y^2}$, calcula límites hacia $(0,0)$ con tres curvas paramétricas distintas. Alguna de ellas no puede ser recta. Luego escribe tus conclusiones.

 
       
 
       

Ejercicio 20 (4 puntos). Dibuja la gráfica tridimensional y algunas curvas de nivel ilustrativas de $f(x,y)=\displaystyle\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$. ¿Qué observas en $(0,0)$?