CAv_1819_Practica4

206 days ago by sevillad1819

Práctica 4 de Cálculo Avanzado

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle o calendario de la asignatura. Hasta una semana de retraso: cuenta hasta el 50% de la nota. Más de una semana de retraso: no cuenta para la nota.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo CAv_1314_Practica7_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "File...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1819 mediante el botón Compartir de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica: los ejercicios opcionales son solo para subir nota.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar Imprimir arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) y convertirlas a un único fichero PDF.

 

Recordemos cómo integrar una función.

f = cos(3*x) f.integrate(x) 
       
1/3*sin(3*x)
1/3*sin(3*x)
f = cos(3*x) f.integrate(x,1,2) 
       
1/3*sin(6) - 1/3*sin(3)
1/3*sin(6) - 1/3*sin(3)

También puede serte útil hacer integración numérica (es decir, aproximada). El comando devuelve el valor y una estimación de su error.

f = cos(3*x) numerical_integral(f,1,2) 
       
(-0.14017850208626434, 6.890050619118141e-15)
(-0.14017850208626434, 6.890050619118141e-15)

Recordemos también cómo se genera una lista usando for y cómo se suman los elementos de una lista. Este ejemplo se parece mucho al código que podrías usar para calcular series de Fourier.

a(n) = 1/n l = [a(n)*sin(n*x) for n in [1..10]] l 
       
[sin(x),
 1/2*sin(2*x),
 1/3*sin(3*x),
 1/4*sin(4*x),
 1/5*sin(5*x),
 1/6*sin(6*x),
 1/7*sin(7*x),
 1/8*sin(8*x),
 1/9*sin(9*x),
 1/10*sin(10*x)]
[sin(x),
 1/2*sin(2*x),
 1/3*sin(3*x),
 1/4*sin(4*x),
 1/5*sin(5*x),
 1/6*sin(6*x),
 1/7*sin(7*x),
 1/8*sin(8*x),
 1/9*sin(9*x),
 1/10*sin(10*x)]
sum(l) 
       
1/10*sin(10*x) + 1/9*sin(9*x) + 1/8*sin(8*x) + 1/7*sin(7*x) +
1/6*sin(6*x) + 1/5*sin(5*x) + 1/4*sin(4*x) + 1/3*sin(3*x) + 1/2*sin(2*x)
+ sin(x)
1/10*sin(10*x) + 1/9*sin(9*x) + 1/8*sin(8*x) + 1/7*sin(7*x) + 1/6*sin(6*x) + 1/5*sin(5*x) + 1/4*sin(4*x) + 1/3*sin(3*x) + 1/2*sin(2*x) + sin(x)

Para terminar, representamos todo esto gráficamente.

gr = [plot(f,(x,-pi,pi),figsize=4) for f in l] sum(gr) 
       
plot(sum(l),(x,-pi,pi),figsize=4) 
       
 
       

Ejercicio 20 (4 puntos). Escribe funciones $a(n)$, $b(n)$ que calculen los coeficientes de la serie de Fourier de $f(x)=x^2-4x+1$ en $[-\pi,\pi]$. Luego dibuja juntos $f$ y la suma de Fourier de $f$ hasta $n=10$.

 
       
 
       

Ejercicio 21 (4 puntos). Encuentra una función que esté definida en dos trozos, $x\leq0$ y $x\geq0$, de manera que su serie de Fourier tenga dos discontinuidades en $[-\pi,\pi]$. Dibuja juntas la función y una aproximación de Fourier.

 
       
 
       

Ejercicio 22 (8 puntos). Dada la función $f(x)=e^{x/2}$ definida en $[0,\pi]$, calcúlale cuatro series de Fourier: en senos, en cosenos y dos más a tu elección. Más concretamente, toma $n=5$ para aproximar las cuatro series y luego en cada caso:

  • Muestra los coeficientes de Fourier hasta $n$.
  • Dibuja juntas la extensión de $f$ (con dominio $[-\pi,\pi]$) y la aproximación de Fourier (con dominio $[-3\pi,3\pi]$).
  • Di en cuántos puntos de $[-\pi,\pi]$ ocurre el fenómeno de Gibbs.
 
       
 
       

Para el último ejercicio necesitarás encontrar máximos y mínimos de funciones, así que aquí tienes cómo hacerlo numéricamente. Intenta interpretar los dos números que devuelve el comando find_local_maximum. Si Sage no te devuelve el que estabas buscando, haz el intervalo más pequeño.

f = -x^4+3*x^2+x a,b = -2,2 p = find_local_maximum(f,a,b) print p plot(f,a,b,figsize=4) + point([p[1],p[0]],size=30) 
       
(3.5139050389347894, 1.3008395663723102)
(3.5139050389347894, 1.3008395663723102)
 
       

Ejercicio 23 (8 puntos). Creemos un ejemplo del fenómeno de Gibbs. Escoge una función $f(x)$ en $[-\pi,\pi]$ que tenga una discontinuidad de salto en el interior del intervalo y que no sea constante en todos los trozos. Para $n=10,50,200$, sea $g_n$ la suma de Fourier truncada correspondiente. Haz lo siguiente para cada uno de los valores de $n$ anteriores:

  • Dibuja juntas $f$ y $g_n$.
  • Calcula el máximo y mínimo locales de $g_n$ más cercanos a la discontinuidad, y su distancia vertical (ese sería el "salto" de la función continua $g_n$).
  • Compara el "salto" de $g_n$ con del salto de $f$ en su discontinuidad. ¿Cómo está cambiando el "salto" de $g_n$ cuando $n$ aumenta?