CAL_1819_Practica6

250 days ago by sevillad1819

 Práctica 6 de Cálculo: integración en varias variables

 

Límite de entrega de esta práctica: ver tarea en Moodle o calendario de la asignatura. Hasta una semana de retraso: vale hasta el 50%. Más de una semana de retraso: no cuenta para la nota.

Instrucciones:

  1. Haz una copia de la hoja pública y renómbrala: si tu correo es usuario@alumnos.unex.es añade al final del título _usuario, por ejemplo AJO_1516_Practica2_sevillad.
    • Para cambiar el nombre pulsa en el título de la hoja (arriba del todo, entre el logo de Sage y el menú "Archivo...")
  2. Comparte la hoja de trabajo con el usuario sevillad1819 mediante el botón Compartir de arriba a la derecha.
  3. Trabaja la práctica.
  4. Cuando hayas terminado, haz una copia en un único fichero PDF y ponlo en el campus virtual. Esa será la versión que se evaluará. La hoja no se considera entregada si no se ha compartido (punto 2).
    • Para generar el PDF lo más sencillo es usar el botón Imprimir de arriba e imprimir la nueva página a fichero.
    • Una alternativa es hacer capturas de pantalla (JPG, PNG...) de la hoja a imprimir, y convertirlas a PDF uniendo después los distintos ficheros generados.

 

Recordemos cómo integrar en una variable. Podemos calcular primitivas o directamente evaluar integrales definidas. Hay dos maneras de escribirlo, con un método (cuando se pone un punto después de un objeto matemático) o como un comando (cuando se empieza con el nombre de la función a usar). Aquí tienes los dos.

f(x) = cos(x) f.integrate(x); f.integrate(x,2,3) 
       
x |--> sin(x)
sin(3) - sin(2)
x |--> sin(x)
sin(3) - sin(2)
integrate(f,x,2,3) 
       
sin(3) - sin(2)
sin(3) - sin(2)

Si queremos calcular una integral doble (por ejemplo para un volumen) lo podemos hacer con dos integrales de una variable. Por ejemplo, calculemos el volumen determinado por $f(x,y)=x^2+sin(y)+1$ sobre el rectángulo $x\in[0,2]$, $y\in[1,4]$ que puedes ver a continuación. Por cierto, fíjate en la manera de dibujar el plano XY, ¿qué función se está dibujando y por qué?

var('x,y') f(x,y) = x^2+sin(y)+1 plot3d(f(x,y),(x,0,2),(y,1,4),figsize=4)+plot3d(0,(x,0,2),(y,1,4),opacity=0.7) 
       
hs_err_pid55355.log

Hagamos primero la integral con respecto a $x$ y luego con respecto a $y$.

I1 = f.integrate(x,0,2) I1 
       
y |--> 2*sin(y) + 14/3
y |--> 2*sin(y) + 14/3
I2 = I1.integrate(y,1,4) I2 
       
-2*cos(4) + 2*cos(1) + 14
-2*cos(4) + 2*cos(1) + 14

Al revés da el mismo resultado, claro. Lo hacemos ahora en una línea.

integrate(integrate(f,y,1,4),x,0,2) 
       
-2*cos(4) + 2*cos(1) + 14
-2*cos(4) + 2*cos(1) + 14

Cuando queramos calcular una integral doble, Sage se ocupará del cálculo de primitivas, pero nos tocará escribir el dominio de alguna de las maneras que hemos aprendido para poder hacer dos integrales de una variable.

 
       

Ejercicio 25 (4 puntos). Calcula la integral de $f(x,y)=xe^y$ en el dominio triangular de vértices $(0,0)$, $(2,0)$ y $(1,1)$.

 
       
 
       

Ejercicio 26 (8 puntos). Calcula el área de la siguiente región con una integral doble: la intersección del círculo de centro el origen y radio 4 con el círculo de radio 2 y centro $(i-5,3)$ donde $i$ es la cifra de las decenas de tu NIF/NIE. (Recuerda que el área es igual al volumen delimitado por la gráfica de $f(x,y)=1$ sobre esa región).

 
       
 
       

Ejercicio 27 (8 puntos). Calculemos el volumen geométrico determinado por la gráfica de una función. La función es $f(x,y)=y-(x^2-ix+i)$ donde $i$ es la cifra de las unidades de tu NIF/NIE. Su dominio es el rectángulo $x\in[0,10]$, $y\in[-1,5]$.

  • Dibuja la función para hacerte una idea de dónde es positiva y dónde es negativa.
  • Calcula el volumen geométrico haciendo las integrales que necesites.